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                          (温州师范学院 数学系 温州 325003)

   摘要 本文对已有一个供应商存在的前提下，新增供应商为获取最大利润如何进行有

效选址的决策问题进行了研究。其主要结果是建立了一个选址决策模型，把求解的问题归结

为无约束的连续型非线性规划问题，并给出迭代算法。

   关键词 选址模型 选址决策 非线性规划 迭代

      分类号0221.2

     1   引言

    现实生活中经常碰到生产厂家如何选取厂址或供应商如何选取店址以获得利润最大或成本最小的问题。不少运筹学者对这类问题作过研究，建立了一些选址模型。^[1][2]但常见的这些选址模型都有两个基本假设：(1)运输费用是供应商选址决策时考虑的主要因素，最优选址是使全部运输费用最小的位置；(2)在供应商作出选址决策之前，该地区尚无其它供应商存在，即不存在竞争对象。然而，在实际问题中，往往不满足这两条假设。事实上，成本不一定是供应商所考虑的主要因素，利润是否获得最大才是应考虑的主要因素；其次，成本费用不仅仅是运输费用，随着城市的发展，房地产的兴旺，不同的选址点场租费相差很大。此外，竞争往往总是存在的，在新增供应商进人前，常常已有一个或多个供应商存在，因此有必要对已有的选址模型进行改进。文「3」是在已有一个供应商的条件下，建立了获取最大供应量的选址模型。在本文中，我们将建立获取最大利润的选址模型。

     2  模型建立

    本文的讨论建立在如下的合理假定之下：(1)存在一个均质平原，交通处处可达，各方面的运输费用仅与路程有关；(2)存在多个需求点，这些点的位置可用二维平面上的坐标来表示，且送货上门；(3)场租费用与离市中心的远近有关，市中心的场租费最贵，随后线性递减；(4)已存在一个供应商为各需求点提供服务；(5)在有竞争的情况下，需求点对各供应商的需求量分配与它距各供应商距离的远近有关。

    在上述假定之下，考虑一个新增供应商的选址决策问题，其目标是使新增供应商获得利润最大。规定各需求点的坐标为(.x_i,y_i)(i=1,2,...,n)，原有供应商的坐标为(x_e,y_e),市中心的坐标为(x₀,y₀ )，新增供应商的坐标为(x,y)，各需求点的需求量v_i (i = 1，2，…，n)，并记

    首先为了恰当地反映第(5)项假设，需要构造一个表示第i个需求点的需求量在新增供应商处获得满足的比例函数fi(x，y)。按(5)之假设.fi(x，y)应满足:当di> dei时，fi(x,y)<1/2；而当di>>dei^[3]时，fi(x,y)→0,当di＝dei时，fi(x,y)=1/2,当di1/2。本文取fi(x,y)=1/2(1-sin).其次，为反映第（3）项假设，构造新增供应商的单位场租费用为q－kd，其中q为市中心的单位场租费，k为比例系数，q，k的取值视具体实际问题而定。最后，构造选址决策的利润目标函数为

其中r为单位供应量的利润，p为单位供应量单位路程的运费.那么我们的目标是确定新增选址点(x,y)使maxF(x,y)。.这是一个无约束的连续型非线性规划问题，因而可运用求多元极值的方法求解.为此今

整理后得：

记

则极值条件可简化为

   

由上式可形式地解出:

但这并不是最终所求的解，因为ai, bi都是x,y的函数，但由此式可得迭代式:

(      (1)

其中初值(x⁽⁰⁾，y⁽⁰⁾))可选作(xe, ye)或取各需求点的加权平均

       (2)

    由于目标函数不是凸函数，因此对某些初值按迭代式(1)可能不收敛或收敛到不是最优解，这时，可用不同的初值进行迭代，然后比较结果，或对迭代进行修改，如用共扼斜董法，或模拟退火法，就可获得收敛于最优解的近似解.

    3   算例分析

    例1 假设有8个需求点，位置和需求量如表1所示(原始数据引自文[3])，全部客户需求量合计为370，设市中心位置为(40,50)，原有供应商的位置是(20,50)，现求新增供应商的位置，使其利润获得最大.

 

为了进行迭代，必须先确定有关系数，不妨设:r =1，其它系数设置如下:p=0.1r /dm, q=r/3, k=2q/3dm, 现取初始点(xe, ye)，按(1)迭代得到模型的迭代结果(37.91, 81.63)，如图1所示，此时新增供应商吸引的市场需求量是232.53，超过全部市场需求量的一半，相应的最大利润为181.87.这时各需求点到两供应商的距离及新增供应商所吸引的百分比如表2所示：

    若按文[3]所提要求，只考虑最大的市场占有量，那么只需在现在的模型中令p,q,k全部为零，即不计成本，然后按(1)重新迭代得结果(39.43,69.96)，相应的最大市场占有量为241.21，超过本文要求的占有量，但若这一迭代结果，按本文假设考虑成本，那么对应的利润为171.38，不及本文结果的利润.因此在实际问题中一味只考虑最大占有量而不考虑成本未必能获得最好收益.

例2   假设有10个需求点，如表3所示，全部客户需求量为320，市中心位置为(0,0)，原有供应商的位置为(-1，-1).

现各种系数仍按例1之假定，初值为(-1,-1)，迭代结果为(1.62，-1.84)，如图2所示，新供应商市场占有量为156.76，不足全部市场占有量的一半，相应的最大利润为109.39，有关数据如表4所示.

    类似地若不计成本，则模型迭代结果为(0.36，-0.60)，相应的占有量为165.73，此时超过全部市场占有量的一半，但若计成本，则对应的利润仅为103.31，同样说明了供应量增加未必利润增加.此外，本例还表明市场占有量超过一半，并不能保证获利更好.

    4   结束语

    本文构造的模型虽对已有一个供应商的情形建立的，但可以把模型推广至已有多个供应商的情况，此外本文模型假设平面上处处可作选址点，但实际间题可能碰到有些区域不能选址，从而要作适当调整等等. 于篇幅关系，不再在此赘述.

                            参考文献

(1)[美]L.库泊等.魏国华，周仲良译.运筹学模型概论.上海科学技术出版社，1987

(2〕沈荣芳，王永安运筹学(高级教程).同济大学出版社，1997

(3)张显东，梅广清等.市场竞争条件下的供应商选址模型研究，运筹与管理.1998;(7).2

 

A Competitive Model of Location

                          Zhang Huanzhen

                          (Department of  Mathematics)

Abstract This paper discusses how a new supplier, on the premise of the existing supplier, makes an effective decision of location to reap maximum profits. It sets up a model of location and regards decision of location as a problem of non-constraint continuous non-linear programming. It also provides iterative algorithm.

Key words model of location  decision of location  non-linear programming  iteration

收稿日期:1998-11-18