(西北工业大学 应用数学系, 陕西 西安710072)

摘　要:通过实例和对模型的分析,得出[1]中已有多供应商条件下所建模型的不合理性,并提出了模型合理性的原则。

关键词:选址模型;多供应商;模型合理原则

中图分类号:O224; F731.5　　　文献标识码:A　　　文章编号:1007-3221(2000)01-0007-04

Model  of  Location  in  Many  Suppliers

XIAO Hua-yong, TIAN Zheng, SHI Yi-min

(Northwest Polytechnical University, Xi'an 710072, China)

Abstract ：W e research the model with more than one existing supplier in [1] by simulation experiment and model analysis, the result shows the model is not reasonable. A reasonable principle of model is proposed in the paper.

Key words: model of location; m any suppliers; reasonable principle of model

      0    引言

    在[1]中，张显东等人详细研究了已有一个供应商条件下，考虑一个新供应商的选址决策，建立了模型，推导了算法，并给出了仿真实例。在文章后面，作者将该模型推广到已有多个供应商情况下的选址，虽没有具体求解，但对其建立了一个模型。笔者经过仿真研究和模型分析，发现多供应商情况下的选址模型很不合理，需要重新建立一个合理的模型。

      1 [1]中给出的多供应商条件下选址模型的研究

假定已有m个供应商,位置分别为(xej,yej),j=1,2,…,m,各需求点坐标为(xi,yi),i=1,2,…,n,需求量分别为vi,i=1,2,…,n。设待求的新增供应商的坐标为(x,y),[1]中给出的多供应商条件下情况下选址模型为：

其中

k>0为调节曲线性状的系数，本文如[1]中一样都取k=0.13　([1]中未实际告诉k值,但能从原文算例中推出)。

     [1]中提出了该模型,但并未求解,这里首先对该模型求解进行推导:

求解(1)是一个无约束极值问题。由于目标函数F(x,y)连续可微,令该函数对各变量的偏导数为零,从而求得极值点,即：

则极值条件可写为:

由上式可解出:

从而得出迭代式(3)和(4):

初始点(x⁰,y⁰)的选取可任意或按[1]中(2)式选取。当满足|x^(k+1)-x^(k)|(k+1)-y^(k)|迭代终止。其中eps为指定精度,文中取0.0001。同[1]一样,可从多个初始点迭代,找出多个局部极值点,从中找出一个近似最优的全局极值点。如果从不同初始点迭代得到的结果一样,那么可直接选取该点作全局极值点。

       2         模拟研究分析

假设有8个需求点,位置和需求量如表1所示,全部客户需求量合计为450。原有两个供应商,其位置为a)(35,40),(50,65);b)(64,60),(34,50)。分别求新增供应商的位置,使新增供应商所占有的市场量达到最大。

a)当原来两个供应商位置(35,40),(50,65),选取不同初始点按照(3)、(4)进行迭代,经过10～30步的迭代(不同初始值迭代步数有差异),得到的结果都为x=64.67,y=60.45,新增供应商占有市场量F=167.42,超过总需求量的1/3即150。得到结果是满意的。

b)当原来两个供应商位置(64,60),(34,50),选取不同初始点按照(3)、(4)进行迭代,经过20步左右迭代,得到的结果有两个,当初始值取得较小时(如x₀=10,y₀=25)得到x=33.29,y=28.99,对应F=128.42;当初始值取得较大时(如x₀=96,y₀=80)得到x=70,y=55,对应F=134.12。取最大F值,则新增供应商占有市场量为134.12,仍然低于总需求量的1/3即150。此结果显然是不满意的。

3　结果与模型分析

(1)对b)中结果分析

初时怀疑该算法迭代有问题,没有得到最优解。于是按[2]中逐步加密网格法进行计算,该方法搜索空间和计算量很大,十分耗时,但最后得到的最优解与a)、b)中得到的最优解一致,说明前面推导的算法及迭代过程无误,是一种高效的算法。那么问题出在哪里呢?如果将新增供应商的位置选择在原来两个供应商中一个,计算结果表明,当选择(64,60)时,F=118;当选择(34,50)时,F=107,其占有市场量更小,当然小于150了。这说明在该模型下,即使选址在原供应商位置,也无法达到市场份额的平均值,这显然与事实不符。鉴于以上结果分析,我们完全可以得出模型本身不合理的结论,即模型(1)不合理。

(2)对模型(1)进行分析

(1)式中F函数主要由百分比函数gi(x,y)决定,模型合理与否就看gi(x,y)是否合理。当原来只有一个供应商情况,gi(x,y)反映的是对第i个需求点,新增供应商所占百分比,那么原供应商所占百分比ogi(x,y)=1-gi(x,y)。如果按照文中给出的所占百分比与距离关系的定义式子来看,新增供应商所占百分比gi(x,y)=1/[1+exp(kfi(x,y))],则易得出原供应商所占百分比ogi(x,y)=1/[1+exp(-kfi(x,y))],在数学上很容易验证gi(x,y)+ogi(x,y)=1,且容易知道当新增供应商位置到第i个需求点比原供应商近时,所占百分比就大,当两个距离一样时,所占百分比就一样。因此对一个供应商情况下,[1]的模型是合理的。进一步理解了已有一个供应商情况下gi(x,y)的意义,那么来分析一下已有m个供应商情况下[1]中定义的gi(x,y)。此时的gi(x,y)同样应代表新增供应商占第i个需求点需求量的百分比,gi(x,y)至少应该具有这样的特性:当(x,y)距离第i个需求点(xi,yi)最近时,其所占百分比应最大;当(x,y)和其余m个供应商与(xi,yi)点距离一样时,所占百分比应一样,即1/m+1。实际上,针对m=2就可以举出反例说明上面特性不满足。假设(x,y)距离第i个需求点(xi,yi)最近,即fi1(x,y)<0,fi2(x,y)<0,且使得1/[1+exp(kfi1(x,y))]=0.52,而1/[1+exp(kfi2(x,y))]=0.6,则按照(2)式可计算出gi(x,y)=0.312<1/3,这样gi(x,y)就不合理。且当fi1(x,y)=0,fi2(x,y)=0,gi(x,y)=1/4≠1/3这也说明gi(x,y)不合理。由上面的算法实例以及对函数gi(x,y)的分析说明,[1]中推广的已有多个供应商情况下新增供应商的选址模型是不合理的。

4　模型合理性原则

那么什么样的模型是合理的,也就是应该如何选择gi(x,y)。由前面对只有一个供应商情况下的gi(x,y)的分析,我们可以提取出这样三条合理性原则:

(1)　对任选定的一点(x,y)。应能计算新增供应商及已有m个供应商所占第i个需求点需求量的百分比,且这m+1个百分比之和为1。

(2)　对包括新增供应商在内的m+1个供应商与第i个需求点的距离进行排序,各供应商所占百分比从大到小排序与距离从小到大排序应一致。

(3)　当m+1个供应商与第i个需求点的距离相等时,各供应商所占百分比应相等,为1/m+1。

可以验证,[1]中提出的模型(1)对上面3条原则都不满足,因此也说明不合理。至于提出一个具体的什么模型才能满足上面3条原则,使其具有合理性,且能经过多轮更新迭代,各供应商都调整到吸引位置,笔者另有专文论述。

参考文献

[1]张显东,梅光清,张学兵,沈荣芳.市场竞争条件下的供应商选址模型研究[J].运筹与管理,1998,7(2):1-6.

[2]张启富.网格法在多值规划问题中的应用[J].运筹与管理,1998,7(2):75-77.

收稿日期:1999-09-09基金项目:国家航空基金资助项目(98CD0101)

作者简介:肖华勇(1969-),男,重庆市铜梁县人,西北工业大学应用数学系讲师,在职博士生,主要从事模糊神经网络和子波研究。