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       摘  要:再制造产品定位问题是一个重要的战略问题。在二次运输成本假设下，本文研究消费者分布非均匀时的Hotelling模型最优定位点的估计问题。在实际工作中,往往并不知道消费者分布函数的具体解析形式，根据样本方差点不同，我们构造不同的密度函数来逼近它，从而求出其唯一Nash均衡估计值，并得到产品再制造厂商相应的市场竞争策略。

    关键词:再制造；水平差异化产品；定位

   中图分类号：F713.53  文献标识码： A  文章编号：

  一、  引言

    闭环供应链的概念虽然至今没有公认的定义，但是闭环供应链具有对废旧产品回收再利用的特性却是众所周知的。目前，国际上存在两种主要的回收利用方式：一是产品或零部件再制造，二是原材料再生。通过焚烧回收能源有时也可以当作第三种回收利用方式。对各种方式进行组合也是可能的，但是很难确定究竟那些产品回收利用策略是最佳的,关键的原因是对闭环供应链中的产品如何进行定位，存在巨大的挑战。在闭环供应链中，当再制造产品和新新产品具有相同的产品质量且处于相同的销售渠道时，二者之间仍将存在激烈的市场竞争。一般地，由新产品和再制造产品经营企业组成的寡头垄断市场中，企业为了软化价格竞争，常常实施产品差异化战略，并将该战略作为企业生存和发展的重要手段。

    对产品差异化战略的系统定量理论研究，最早的文献可追溯到1885年Launhardt论文，但现代产品水平差异理论主要受Hotelling (1929)提出的空间模型的影响，经典的Hotelling模型已经被写入经济学和管理学中的多门教科书里[1]。在Hotelling[2]最初论文中，他基于消费者均匀分布和线性成本假设，得到了所谓的“最少差异化原理”，双寡头竞争的结果是：双方为求得最大市场份额，两寡头的产品最优定位点都向同一点集中。虽然该模型在解释产业内企业出现聚集现象时非常有效，但应用于水平差异化产品的定位时，由于导致Bettrand悖论现象，而难以令人信服。半个世纪后，d’Aspremont、Gabszwicz和Thisse发现最初的Hotelling模型存在缺陷，其线性成本假设引发“领地（Hinterland或Turf）丧失”问题,从而导致企业的需求函数是不连续的，以及它们的利润函数是非连续的和非凹性的[3,4]。由此，他们还证明了，当两个企业定位于线段中心点附近（但不是同一点）时，Hotelling最小差异化原理是无效的，因为在这样的情形中，Hotelling博弈模型不存在纯战略的Nash均衡。d’Aspremont等人基于二次成本假设，从而避开领地丧失问题中的技术问题，当消费者均匀分布时，得到所谓的“最大差异化原理”，双寡头竞争的结果是：为了防备采取的对手的降价策略，每个企业的最优定位点都远离其竞争对手的最优定位点，以达到软化价格竞争的目的。Tabuchi和Thisse[5]进一步得到两个寡头企业产品的最优定位点的具体值。

    本文作者在研究闭环供应链中再制造产品的定位问题时发现，Tabuchi和Thisse得出的结果，并不适用我们的研究对象。在闭环供应链中，本文假设再制产品跟相应的新产品具有相同的质量，并在同一渠道内销售，但存在水平差异。此外，我们定义两个新概念：纯新产品和纯再制造产品。纯新产品指的是这样的产品，它不含任何再制造的零部件；纯再制造产品指的是完全由再制造零部件所构成的产品。在产品空间里，设纯新产品位于0，纯再制造产品位于1，消费者分布在区间[0，1]内。依照Tabuchi和Thisse的结论，纯新产品和纯再制造产品的最佳定位点分别是-0.25和1.25[5]。该理论模型推导出来的结论跟现实情况并不吻合。一般地，生产符合一定质量要求的纯再制造产品，经济上并不合算，技术上甚至不可行，资源与环境价值也不高。产生上述理论与实际偏差的原因是Tabuchi和Thisse假设条件：消费者服从均匀分布。

   在水平差异模型中，当消费者不服从均匀分布但满足一定条件时，Anderson和Goeree[6] 得到产品最优定位的一般表达式。然而，在实际工作中,往往并不知道消费者分布函数的具体解析形式。为此，我们构造一类不满足对数凹条件但具有对称性的密度函数来逼近它, 仍可以求出其唯一的 Nash价格和位置均衡，并把传统的差异最大化原理和差异最小化原理作为本文模型的特殊情形。

   二、 再制造产品和新产品水平差异化理论模型

    假设公司1和公司2分别生产同质量新产品和再制造产品，它们的生产成本相同，不失一般性，设成本为零[1,7，8] 。在产品空间里，设纯新产品位于0，纯再制造产品位于1，消费者在产品空间中连续分布于[0，1]内。记累计分布函数为F(x)，密度函数为f(x)，并且f(x)导函数f′(x)存在； 设新产品和再制造产品在产品空间中分别定位于x1和x2，新产品位于再制造产品的左边，即x1≤x2；每个消费者只购买二种产品当中的一种，并且消费者具有单位需求，即消费量或者是0或者为1；除了位于x1和x2以外的任何消费者，两种产品都不是最理想的产品，因而要承担跟差异成正比的“交通成本（Transportation Cost）”，在这里，交通成本的含义是指消费者由于产品特性不完全符合他们的偏好而承受的负效用（Disutility），即效用损失。

    以p1和p2分别表示新产品和再制造产品的市场价格，t代表单位差异量化为单位距离后的交通成本，t可理解为消费者对两种产品差异的敏感程度。位于x点的消费者购买新产品或者再制造购买再制造产品所付出的全价分别是 。如果位于ξ的消费者在两个公司购买的产品是无差异的，就称之为无差异消费者。这样，位于ξ左边的消费者都将选择新产品，而位于ξ右边的消费者将选择再制造产品，新产品和再制造产品的需求量分别为D1=F(ξ)和D2=1 - F(ξ)，并且ξ 一定满足[3,4]
                （1）

   记方程 的解为ξ*，两个公司的产品最佳定位分别是[5,6]：
                    （2）

  三、最优定位点的估计

  在实际具体工作中，人们一般通过统计调查得到离散的经验分布函数。从定性的角度，格利文科[10]证明了如下定理：设F(x)是总体分布函数，Fn (x)是经验分布函数，则当 时，Fn (x)以概率1关于一致x地收敛于F(x)。当样本很大时，经验分布近似地等于总体分布，但是F(x)具体解析形式却至今尚无法确定。上一节虽然给出了两寡头产品定位的最优定位点的解析结果，但在实际工作的使用过程中仍有困难，因为分布函数或密度函数的解析式难以找到。下文根据具体不同的方差，我们构造不同的密度函数来逼近它，以求出其唯一的Nash位置均衡估计值。
 
（一）三角函数逼近

  当实际市场人口相对集中且呈现出对称性，且样本方差s在[1/30，1/12]范围时，我们用一簇三角函数x-ksin(2πx)/ 2π近似地代替F(x),F(x)=x-ksin(2πx)/ 2π（ 0≤k≤1），从而达到用具体的解析函数逼近未知的F(x)的目的。类似的处理办法也出现在顾锋等人的论文中[11]，所不同的是本文中的逼近函数是以k为参数的一簇函数而不是仅仅一个函数。

   当0≤k≤1时，F(x)的导函数为f(x)=1-kcos(2πx) ≥0，且连续可导；F(1)=1，F(x)可作为一个分布函数。当k=0时，F(x)就是均匀分布，均匀分布是本文的特例。f(x)作为密度函数，其期望是 ；

   其方差是  。

   虽然g(x)不满足对数凹函数条件，但由于g(x)满足对称性，因而

有唯一的解^[5,6]，且ξ*=1/2。

又令   得

这是因为 ；无论0≤x≤1/2还是1/2≤x≤1，2x-1和

 sin(2πx) 总是符号相反的， 总有 。由于 的非增性，最优定位的解是唯一的[6] 。

    由（2）式得，      （3）

    其中k由样本方差s来确定，它们之间的关系是：s=1/12 – k/2π2。

    当k=0时，f(x)就是均匀分布，最优定位点的估计值同Tabuchi和Thisse[5].一样，Tabuchi和Thissed的结论是本文的特例。

    当0<k≤1/2时，最佳定位点估计值位于(0,1)之外，导致产品之间差异最大化。

    当1/2<k≤1时，最佳定位点估计值位于（0,1）内。具体值由公式（3）给出。
 
   （二） 正态分布函数逼近

   当实际市场人口高度集中且呈现出对称性，且样本方差s小于1/36时，我们用正态分布来近似地代替F(x)。根据３δ法则，以1/2为期望的正态分布落在［０，１］的概率大于99.73%。正态分布的分布函数和密度函数分别为
Caplin和Nalebuff[9]给出了二次成本假设下，只要消费者的分布密度函数是对数凹函数，两个公司的任意定位都存在唯一的Nash价格均衡。显然，正态分布的密度函数满足对数凹函数条件，因而方程（2）有唯一的解：
          （4）

     当s趋近于零时，即使在二次成本假设下，此时有ξ*=x*1= x*2=1/2, 新产品和再制造产品定位于同一点，产品差异最小化。此时，产品的市场价格为零，两寡头竞争的效果等同完全自由竞争，这就证明了在二次成本假设条件下，同样也导致Bettrand悖论现象。
 
     四、结论

    在现实社会里，无论是差异最小化原理还是差异最大化原理，虽然它们各有利弊，但都能找到广泛的应用领域，如产业的聚集或消聚，产品的雷同或个性化等，因而两者均有广泛的影响。在理论模型处理方面，本文把最大化和最小化原理集中统一处理，前人的结论是本文的一些特例。

    模型的竞争策略含义是：随着可持续发展理念日益深入人心，人们的消费伦理正在逐步改变，对有质量保证的再制造产品的接受程度不断提高，消费者分布函数的方差趋于合理的范围，新产品和再制造产品的最佳定位在纯新产品和纯再制造产品之间，具体的值可由公式（3）或（4）估计出来。

    参考文献:

     [1] Ferreira, R., J..Thisse. Horizontal and Vertical Differentiation: The Launhardt Model[J]. International Journal of Industrial Organization, 1996,(14):485-506.

     [2] Hotelling, M. Stability in Competition[J]. Economic Journal, 1929,(39): 41-57.

    [3] d’Aspremont, C., J.J.Gabszwicz and J.F.Thisse. On Hotelling’s Stability in Competition[J]. Econometrica ,1979,( 47):1145-1150.

    [4] [法]泰勒尔. 产业组织理论[ M]. 马捷等译, 北京: 中国人民大学出版社, 1997, 365-369.

    [5] Tabuchi, T., J.F.Thisse. Asymmetric Equilibria in Spatial Competition[J]. International Journal of Industrial Organization.1995, (13):213-227.

    [6] Anderson, P.G., J.K.Goeree. Location, Location, Location [J]. Journal of Economic Theory, 1997,(77):102-127.

     [7]Tharakan, J., J.F.Thisse. The Importance of Being Small. Or When Countries Are Areas and not Points[J]. Regional Science and Urban Economy, 2002,(32): 381-408.

    [8]Lambertini, L., K.Denmark. Unicity of the Equilibrium in the Unconstrained Hotelling Model[J]. Regional Science and Urban Economy, 1997, (27):785-798.

   [9] Caplin, A., B.Nalebuff. Aggregation and imperfect competition：On Existence of Equilibrium[J]. Econometrica , 1991,( 59):25-59.

   [10] 现代工程数学手册编委会. 现代工程数学手册（第四卷）[M].武汉:华中科技出版社,1987,109-111.

   [11] 顾锋,黄培清,周东生. 消费者不均匀分布时企业的最小产品差役策略[J]. 系统工程学报,2002,17(5):467-471.

 作者简介：肖桂春（1965-），男，湖南人，华中科技大学管理学院博士研究生，研究方向为物流与供应链管理。